Teoria delle disequazioni di secondo grado

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Le disequazioni di secondo grado, per essere chiamate tali, devono avere l’incognita x massimo al grado secondo, e i coefficienti a, b, c ∈ R con a ≠ 0. Sono riconducibili alla forma ax2 + bx + c > 0. Il simbolo > può essere sostituito da < , ≤ , ≥.
Per trovare le soluzioni di una disequazione occorre studiare il segno del trinomio ax2 + bx + c, che corrisponde a una parabola.

Immagine dei segni delle disequazioni

Come si può notare nell’immagine, si possono verificare tre casi. Innanzitutto occorre avere il coefficiente a positivo, se non è così è necessario cambiarlo di segno. Il coefficiente a si potrebbe lasciare anche negativo, ma di conseguenza tutti i segni dovrebbero essere considerati al contrario.

I tre casi che possono verificarsi riguardano il delta (\sqrt{b^2-4ac} ) del trinomio.

Disequazioni con delta maggiore di 0

Se Δ > 0, il trinomio sarà positivo per valori esterni alle soluzioni, e negativo per valori interni.

  • Esempio con trinomio > 0:

x2 + x – 2 > 0
Δ = \sqrt{b^2-4ac} = \sqrt{1^2- 4(1)(-2)} = \sqrt{9} = 3 → Δ > 0
le soluzioni del trinomio sono x1 = -2 , x2 = 1
le soluzioni della disequazione devono essere esterne → S = x < -2 , x > 1

  • Esempio con trinomio < 0:

      • x2 + x – 2 < 0
      Δ = \sqrt{b^2-4ac} = \sqrt{1^2- 4(1)(-2)} = \sqrt{9} = 3 → Δ > 0
      le soluzioni del trinomio sono x1 = -2 , x2 = 1
      le soluzioni della disequazione devono essere interne → S = -2 < x < 1

      Disequazioni con delta uguale a 0

      Se Δ = 0, il trinomio sarà positivo per ogni valore diverso da x1, e nullo per x = x1.

      • Esempio con trinomio > 0:

      9x2 – 12x + 4 > 0
      Δ = 0
      le soluzioni del trinomio sono x1 = x2 = \frac{2}{3}
      la soluzione della disequazione è per ogni x diverso da \frac{2}{3}

      • Esempio con trinomio < 0:

      9x2 – 12x + 4 > 0
      Δ = 0
      la disequazione è impossibile

      Disequazioni con delta minore di 0

      Se Δ < 0, il trinomio sarà positivo per ogni valore di x.

      • Esempio con trinomio > 0:

      2x2 – 3x + 2 > 0
      Δ = \sqrt{3^2- 4(2)(2)} = \sqrt{-7} → Delta negativo
      la soluzione della disequazione è R

      • Esempio con trinomio < 0:

      2x2 – 3x + 2 < 0 Δ = [katex]\sqrt{3^2- 4(2)(2)}[/katex] = [katex]\sqrt{-7}[/katex] → Delta negativo la disequazione è impossibile

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