Teoria delle equazioni di secondo grado

Un’ equazione di secondo grado è un’uguaglianza avente come l’incognita x al grado massimo di 2 (l’esponente di x dell’equazione scritta alla forma base non può mai essere superiore a 2).

Quando scritta alla forma base un’equazione di secondo grado deve possedere due caratteristiche fondamentali :

  • i coefficienti a, b, c ∈ R ( a, b e c non possono essere numeri complessi)
  • il coefficiente a ≠ 0 poiché in presenza di a=0 equazione sarà di primo grado in quanto manca il termine x2.

La forma base di un’equazione di secondo grado è:

 

CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Le equazioni di secondo grado possono dividersi in due classi principali che a loro volta si suddividono in diversi casi: equazioni complete ed incomplete.

Un’equazione si definisce completa quando non vi sono coefficienti nulli dunque a, b, c ≠ 0. 

Un’equazione incompleta possiede almeno un coefficiente pari a 0 e in base al termine nullo viene attribuito un diverso nome all’equazione oltre che diverse proprietà:

  • Pure : con forma ax2 + c = 0, con a ≠ 0, c ≠ 0
  • Spurie : con forma ax2 + bx = 0, con a ≠ 0, b≠ 0
  • Monomie : con forma ax2 = 0, con a ≠ 0

 

È FONDAMENTALE RICORDARE CHE IL PRIMO PASSAGGIO PER LA RISOLUZIONE DI QUALSIASI EQUAZIONE È LA RIDUZIONE ALLA SUA FORMA BASE; LA MANCANZA DELLO SVOLGIMENTO DI QUESTO PASSAGGIO IMPLICA L’IMPOSSIBILITÀ DI RICONOSCERE CORRETTAMENTE GRADO E FORMA DELL’EQUAZIONE E POTREBBE PREGIUDICARNE IL RISULTATO.

(Se hai dubbi su come ridurre un’equazione alla sua forma base consulta questa pagina)

 

Ogni tipo di equazione possiede strategie risolutive che permettono di accelerare il calcolo del risultato:

  • equazioni complete
  • equazioni incomplete pure
  • equazioni incomplete spurie
  • equazioni incomplete monomie

Per utilizzare il calcolatore delle equazioni di secondo grado, vai alla pagina del calcolatore.

 

 

 

 

EQUAZIONI COMPLETE

 

Le equazioni di secondo grado complete prevedono due tipi di possibili soluzioni :

– Se il coefficiente di b è dispari, si procede utilizzando la formula generale :Formula completa

– Se il coefficiente di b è pari, si può utilizzare una formula semplificata :Formula semplificata

 

 

EQUAZIONI PURE

 

Le equazioni pure si risolvono invece attraverso questi semplici passaggi :

– Si riconducono innanzitutto alla forma x2 = n

– Se n > o : ci sono due soluzioni : S = { ± √ n }

– Se n < 0 : nessuna soluzione : S = { ∅ }

  • Esempio con n > 0 :

2x2 – 50 = 0
x2 = 50 / 2
x2 = 25
x = ± √ 25
x = ± 5

  • Esempio con n < 0 :

x2 + 3 = 0
x2 = -3
Essendo -3 < 0 → Equazione impossibile

 

 

EQUAZIONI SPURIE

 

Le equazioni spurie si risolvono raccogliendo x, e vedendo per quali valori il prodotto è uguale a 0.

  • Esempio :

x2 – 8x = 0
x (x – 8) = 0
x = 0 ∨ x = 8
S = { 0,8 }

 

 

EQUAZIONI MONOMIE

 

Le equazioni monomie hanno un’unica soluzione : x = 0